Leif Andersson Henriksbergsvägen 104 136 67 Vendelsö 2013-06-24 Enheter ====== För att beskriva min omvärld behöver jag enheter som jag kan använda för mätning. När man i samband med franska revolutionen bytte måttsystem och införde metersystemet funderade man mycket kring frågan hur många grundenheter man behövde för att kunna härleda alla de enheter som man använde i praktiken. Man skapade cgs-systemet med centimeter, gram och sekund som grundenheter. För att få en enhet för yta använde man en kvadrat med sidan en centimeter. För att få en enhet för volym använde man en kub med sidan en centimeter. För att få en enhet för kraft använde man sambandet F = m a (kraft lika med massa gånger acceleration) vilket gav kraftenheten dyn som var gramcentimeter/sekundkvadrat. cgs-systemet hade två brister. Det gav enheter som var opraktiskt små för dagligt bruk och när det gällde elektriska storheter fick man två olika system beroende på om man utgick från elektrostatisk (ese-enheter) eller magnetisk (eme-enheter) kraftverkan. 1939 började man ersätta cgs-systemet med MKSA-systemet som hade grundenheterna meter, kilogram, sekund och ampere som grundehnheter. När jag gick i skolan använde äldre läroböcker cgs-systemet medan nyare använde MKSA-systemet. 1960 ersattes MKSA-systemet med SI-systemet som i stort sett var MKSA-systemet utökat med grundenheten kelvin för temperatur. SI-systemet antogs som internationell standard för måttenheter. Men är det verkligen nödvändigt att ha meter, kilogram, sekund och ampere som grundenheter? Kan inte någon av dessa uttryckas i de andra på liknande sätt som ytenheten kan härledas från längdenheten? Finns det någon naturlag som knyter samman några av grundenheterna? Ljushastigheten i kraftfältfritt vakum har visat sig vara en naturkonstant c. En hastighet knyter längd till tid. Det innebär att vi kan ta bort metern och ange längd i (ljus)sekund. Det blir en opraktiskt stor längdenhet men idag använder vi allt oftare så korta tider som nanosekunder och en (ljus)nanosekund är ungefär lika lång som vårt gamla längdmått fot som visat sig vara en praktisk enhet i många sammanhang. Kombinerar jag E = m c2 (E = energi m = massa) med uttrycket för fotonenergi E = h f (h = Plancks konstant f = frekvns) får jag m c2 = h f. Med c = 1 blir detta m = h f Sätter jag h = 1 ger detta m = f = 1/T (T = periodtid) Massa kan då anges som inverterad sekund. Det innebär att alla tre grundenheterna i cgs- systemet kan anges i den enda grundenheten sekund. Men det räcker inte med detta. Det finns fler naturkonstanter som man kan använda för att skapa ett måttsystem. 1899 visade Max Planck att om man använder de fem naturkonstanterna c (ljushastighet i kraftfältfritt vakum), h (Plancks konstant), G (gravitationskonstanten), ε0 (dielektricitetskonstanten för vakum) och kB (Boltzmanns konstant) kan man skapa ett måttsystem utan någon godtycklig grundenhet. Vi har l = c t F = m a och F = G m m/l2 som ger m l/t2 = G m m/l2 som ger m = l3/(G t2) E =F l och E = h f = h/t ger m l2/t2 = h/t I dessa tre ekvationer är c, G och h konstanter. Om man tilldelar dessa något värde, till exempel c =1, G =1 och h =1 får man tre ekvationer med tre obekanta (l, t och m). Uttryckt i SI-enheter ger det Planckenheterna för tid 5,4 10-44 sekunder = 5,4 10-35 nanosekunder längd 1,8 10-35 meter = 5,4 10-35 fot massa 2,2 10-8 kg Planckenhet för laddning får man genom att i Coulombs lag sätta 4π ε0 = 1 och Planckenhet för temperatur får man genom att sätta Boltzmanns konstant kB = 1. Massa, längd och tid är alltså inte av varandra oberoende fenomen. De är koplade till varandra vilket tyder på att de är olika uttryck för något gemensamt. När jag ser på min värld ser jag en ändlig värld som jag kan dela upp i ett antal odelbara kvanta. Om ett kvanta byter plats med en intilliggande tom kvantaposition inträffar en enhetshändelse. Då inkrementeras parametertiden och kvantat flyttas ett steg i det fyrdimensionella rummet. Om förflyttningen sker i samma riktning som de kvanta som utgör "Jag" säger jag att kvantat flyttade sig ett steg i min koordinattidsriktning. En enhetshändelse är alltså både en parametertidsenhet och en längdenhet. I min värld är parametertid (τ) = antalet enhetshändelser i hela universum energi (E) = antalet enhetshändelser i en grupp förutsägbara enhetshändelser massa (m) = antalet kvanta i en kvantagrupp Plancks konstant (h] = totala antalet kvanta i universum periodtid (T) för en grupp = parametertiden, alltså antalet enhetshändelser i universum, mellan två händelser som påverkar gruppen. För ett kvanta gäller att det flyttas var h:te gång en enhetshändelse inträffar. Periodtiden för ett kvanta är alltså h. T = h För två kvanta blir tiden mellan att något av dem förflyttas, alltså periodtiden för gruppen T = h/2 För en grupp om m kvanta blir periodtiden T = h/m m = h/T och med f = 1 /T m = h f Om totala antalet kvanta i min värld är n sätter jag alltså h = n. Men ett problem är att jag inte vet hur många kvanta det finns i min värld. Jag har alltså inget värde på n och får inte heller något värde på h. En möjlighet är då att sätta h =1 och säga att ett kvanta är en n:tedel av h. Eftersom jag inte har något värde på n betyder det att jag inte får något värde på storleken av ett kvanta. Och det innebär att jag förlorar möjligheten att beskriva min värld med heltal och uteslutande använda heltalsmatematik. En ändlig värld kan uppdelas i kvanta vilket innebär att den blir "grynig". När vi formulerar våra naturlagar i ekvationer använder vi samband som gäller för stora mängder kvanta. När vi kommer till mindre kvantamängder måste vi ta hänsyn till världens grynighet och använda diskret matematik Det innebär att vi kan se en del symmetrier och resonanser som beror på uppdelningen i kvanta. Att Planckenheterna får distinkta värden i SI-enheter tyder på att de motsvarar någon sådan symmetri eller resonans. Men det är uppenbart att Planckenheten för massa inte är ett kvanta. I många sammanhang hanterar vi massor som är betydligt mindre än 2,2 10-8 kg. Och 2 GJ är definitivt inte ett odelbart energikvanta. Planck-enheterna bygger på att man sätter vissa universella konstanter lika med ett. Men det är inte helt självklart vad som skall sättas till ett. h är en universell konstant men det är även h/2π och ε0 är en universell konstant men det är även 4π ε0. Och det finns andra universella konstanter som man kan utgå från. En sådan är Hubble-konstanten. Ett sätt att uppskatta storleken på ett kvanta kan vara att utgå från Hubblekonstanten som är 1,24 10-61/ 5,4 10-44 = 2,3 10-18 Hz. Sätter man in det i E = h f får man E = 6,6 10-34 2,3 10-18 = 1,5 10-51 J = 7,5 10-61 Planckenergienheter Hubble-konstanten ger alltså ett kvanta som är tillräckligt litet för att vara odelbart. Men ett så litet kvanta blir oskarpt i tid och rum. Det är så litet att man måste observera det under hela universums livslängd för att kunna detektera det och man måste använda en "antenn" som täcker hela universum för att få med hela kvantat så att det går att detektera. Om man vill ordna kvanta som bitar i ett binärt världstal måste man använda större kvanta som kan ges mer distinkta lägen i tid och rum. Om världen var helt linjär skulle alla partikelstorlekar vara lika sannolika. Att det bara finns ett fåtal olika storlekar på elementarpartiklar tyder på att världen är "grynig", alltså att den kan delas upp i kvanta. Förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter är π som är ett irrationellt tal. Men på en bildskärm är en cirkels omkrets ett antal pixels och diametern är ett antal pixels. Förhållandet mellan omkrets och diameter är alltså förhållandet mellan två heltal, det vill säga ett rationellt tal. Skillnaden mellan detta förhållande och π är ett mått på hur grynig bilden är, alltså hur stor en pixel är. Jag kan beskriva min värld och det som händer i den som en funktion av parametertiden F(τ). Då kan jag också beskriva den som en annan funktion av 1/τ det vill säga G(1/τ). Om jag då sätter frekvensen f = 1/τ kan jag alltså beskriva min värld med funktionen G(f). Mellan F(τ) och G(f) finns ett entydigt samband. Känner jag den ena funktionen känner jag även den andra. Om jag i F(τ) delar upp min värld i likstora odelbara kvanta kommer varje kvanta att ha samma periodtid som övriga kvanta och därmed samma frekvens. När jag ser på G(f) ser jag en funktion som ligger kring en grundton, alltså en funktion kring en bärvåg. När jag på en radio vrider på avstämningsratten är den tyst tills radions resonansfrekvens överensstämmer med någon modulerad bärvåg. Genom att vrida ratten kan jag ta in olika stationer som, utan att påverka varandra, sänder bärvåg som ligger vid olika frekvenser. Är min värld på samma sätt en av många kanaler kring en viss bärvåg? Vilken bärvågsfrekvens har min värld? Är Planckfrekvensen, alltså 1/(5 10-44) = 2 1043 Hz min världs bärvågsfrekvens? Finns det andra "stationer" som "sänder" på andra frekvenser? Om jag ser på min värld på detta sätt blir den uppdelad i ganska stora kvanta som bildar en bärvåg. Modulering av denna bärvåg ger då möjlighet att åstadkomma mindre kvanta på samma sätt som en högfrekvent bärvåg kan moduleras med lågfrekventa ljudsignaler. Planckenheten för energi är, som sagt, för stor för att vara ett minsta odelbart kvanta. Men den kan vara ett bärvågskvanta, ett kvanta i en bärvåg som modulerats så att en grupp av bärvågskvanta bär en lågfrekvent signal. När jag ser på min värld ser jag en bild som förmedlas via ljus. Ljuset är en bärvåg som överför bilden. Ljusets fotoner är bärvågskvanta som tillsammans överför bilden. I min vardag är fotonernas frekvens och därmed deras energi så stor att deras våglängd är försumbar jämfört med de längder som jag observerar. Jag kan i en kamera avbilda en meter som en millimeter på kamerans sensor. Men om jag försöker avbilda en millimeter som en mikrometer börjar jag få problem. En micrometer är ungefär lika med bärvågens våglängd. När man försöker tillverka integrerade kretsar genom att lägga förminskade bilder på kiselskivor får man problem när man försöker driva miniatyriseringen så långt att linjebredder understiger en micrometer. För att komma längre övergår man från ljus till ännu kortvågigare elektronstrålar. Om jag på liknande sätt kan se Planckenergin som bärvågskvanta borde jag märka att jag får problem med att mäta kortare sträckor än Plancklängden eller kortare tider än Plancktiden. Så är det kanske men ännu är våra mätmetoder så ofullkomliga att jag får mätproblem långt innan jag kommer i närheten av detta. Att jag kan se min värld beror på att mina ögon är avstämda för att ta emot bärvågskvanta som ligger mellan infrarött och ultraviolett. En insekt med ögon avstämda för att ta emot ultravioletta fotoner eller en värmekamera som tar emot infrarött ljus ser andra bilder av världen. Min mobiltelefon är avstämd för att ta emot en annan storlek på bärvågskvanta och ser där en helt annan värld. För tvåhundra år sedan hade vi ingen aning om att den bild våra ögon gav oss kunde ses som en ström av fotoner och att det kunde finnas andra fotonstorlekar som gav andra bilder. Finns det andra värden på c, h och G som ger andra värden på Planckenheter och därmed andra universa?