Leif Andersson Henriksbergsvägen 104 136 67 Vendelsö 2014-12-29

Koordinatsystem
============

Om ett flygplan avfyrar en framåtriktad kanon blir kulans hastighet i förhållande till luften summan av
flygplanets hastighet i förhållande till luften och kulans utgångshastighet. För knallen gäller
däremot att den utbreder sig med en ljudhastighet som är oberoende av flygplanets hastighet.

Hur är det med ljus? Rör sig ljuset som en kula eller som ljud?

Ljushastigheten är så hög att den är svår att mäta. Det var inte förrän 1675 som Ole Römer
lyckades mäta ljushastigheten med hjälp av Jupiters månar. Men ganska snart kunde man
konstatera att ljushastigheten var oberoende av ljuskällans hastighet. Ljus utbredde sig alltså i
etern på liknande sätt som ljud utbredde sig i luft. Men en viktig skillnad mellan ljus och ljud är att
för en ljudkälla kan vi med hjälp av ljus se var ljudkällan befinner sig men för ljus finns inget
snabbare sätt att få veta något om ljuskällan. Många av de stjärnor vi ser har för länge sedan
flyttat sig eller slocknat utan att vi på något sätt kan få veta det.

Om ljuset utbredde sig i etern på ett sätt som var oberoende av ljuskällans hastighet borde man
kunna mäta ljuskällans hastighet i förhållande till etern.

Om man vill mäta en järnvägsvagns hastighet i förhållande till omgivande luft kan man sätta en
ljudreflektor i framänden och skicka en ljudpuls (t ex en gevärsknall) från bakänden. När ljudet
går framåt avläsnar sig reflektorn så att gångtiden förlängs och när ljudet går tillbaka närmar
sig detektorn så att gångtiden förkortas. Men den kortare gångtiden kompenserar inte helt den
förlängda gångtiden. Det inser man lätt om man tänker sig att vagnen går med ljudhastighet.
Då blir gångtiden i framriktningen oändlig vilket inte kan kompenseras med att gångtiden för
återgången halveras. Den sammanlagda gångtiden för ljudet blir alltså ett mått på vagnens
hastighet i förhållande till omgivande luft.

Om jag flyttar in reflektorn,geväret och detektorn i kupen kommer jag inte att mäta vagnens
hastighet i förhållande till omgivande luft utan vagnens hastighet i förhållande till kupeluften
vilken naturligtvis blir noll.

1887 mätte Albert Michelsson och Edward Morley hastigheten i förhållande till etern. Resultatet
blev noll. Det betyder att mätanordningen inte rörde sig i förhållande till etern i mätanordningen.
Etern följde alltså med mätanordningen på samma sätt som luften i vagnskupen följer med vagnen.
Ingenting konstigt med det. Men det betydde att etern kring ett föremål följde med föremålet,
så kallad dragging. 1851 mätte Hippolyte Fitzau dragging i strömmande vatten, Han fann en dragging
men den var mindre än väntat och beroende av vattnets brytningsindex. Nägot var konstigt
med det gängse synsättet.

Världen har ingen metrik.För att vi skall kunna tala om begrepp som avstånd och hastighet
måste vi projicera verkligheten på något koordinatsystem. Vi kan välja vilket koordinatsystem
som helst och vilka projektionsregler som helst. Den ena projektionen är inte mer rätt än den
andra. Om vi projicerar så att varje punkt i verkligheten får en unik bildpunkt (bijektiv projektion)
innehåller bilden all information som behövs för att återskapa verkligheten. Ibland projicerar vi
på sätt som ger förenklade bilder. När vi gör en karta eller tar ett fotografi projicerar vi på en
tvådimensionell bild vilket innebär att varje bildpunkt får motsvara många punkter i verkligheten.
En sådan bild innehåller alltså inte all information som behövs för att återskapa verkligheten.

Ofta kan det vara lämpligt att använda rätlinjiga, ortogonala koordinatsystem. Sådana system
kallas kartesianska efter Cartesius som drottning Kristina lurade till Stockholm där han frös
ihjäl.

Om man projicerar verkligheten på två olika bilder kan man komplettera projektionsreglerna
med regler för att projicera den ena bilden på den andra. Om någon av bilderna är ofullständig
är det inte säkert att det går att transformera mellan dem. Det går inte att transformera ett
svart-vitt foto till ett färgfoto.

Det finns en gammal historia om byborna som skall ro kyrkklockan över sjön. Mitt ute på
sjön tappar de klockan men för att veta var de tappade den gör de ett märke i båtkanten.
De använder två avbildningar på verkligheten. En på sjöfast koordinatsystem och en på
båtfast koordinatsystem. För att ett märke i båtfast koordinatsystem skall vara användbart
i sjöfast koordinatsystem måste de ha regler för att avbilda det båtfasta koordinatsystemet
på det sjöfasta.

När jag sitter på ett tåg och ser en perrong passera utanför fönstret placerar jag in perrongen
i mitt tågfasta koordinatsystem och en person på perrongen placerar in tåget i sitt perrongfasta
koordinatsystem. Hur kan vi projicera våra bilder på varandra? Hur ser en transformationsmatris
ut mellan dem?

Gallilei angav en transformation mellan två system som rör sig med konstant hastighet i förållande
till varandra.

Två kartesianska system. x-axeln i tågets färdriktning. Stora bokstäver tågfast små bokstäver
perrongfast. v = tågets hastighetni förhållande till perrongen

X = x - vt
Y =y
Z = z
T = t

Detta överför bild mellan två system där axlarna är parallella med motsvarande axel i det
andra systemet och origo rör sig med hastigheten v längs x-axeln. Men denna transformation
stämmer inte med Fizaus resultat.

Woldemar Voigt (1887) och Hendrik Lorentz (1904) visade att om man övergav kravet att
transformen skulle vara ortogonal kunde man transformera så att det stämde med Fizaus
resultat med transformen
c = ljushastigheten

X = (x - vt)/(1 - v²/c²)^1/2
Y = y
Z = z
T = (t - vx/c²)/(1 - v²/c²)^1/2

Denna transform brukar kallas Lorentztransformen och (1 - v²/c²)^1/2
kallas Lorentzkontraktionen.

Det innebär att man använder ett koordnatsystem med de fyra axlarna x, y, z
och t. När man transformerar till ett system som rör sig med hastigheten v
vrider man t-axeln så att den inte längre blir ortogonal mot de övriga axlarna.
Det innebär att längd och tid inte längre blir oberoende av varandra.

Albert Einstein påpekade 1905 att den ändliga ljushastigheten innebar att om
man i ett system tittade på klockor och meterstavar såg man dem med en fördröjning
som motsvarade ljusets gångtid mellan systemen. Eftersom ljushastighet är den
högsta hastighet vi funnit finns det ingen möjlighet att se dem utan denna
fördröjning.

Om en avlägsen händelse inträffar kan jag inte veta något alls om den förrän den
bild som ljuset förmedlar når fram till mig. I min värld inträffar alltså händelsen
när dess bild kommer fram till mig. För mig är alltså avståndet till händelsens bild
viktigare än avståndet till händelsen. Hermann Minkowski påpekade att om man använder
en imaginär tidsaxel ersätts det vanliga avståndsuttrycket med en storhet som minskar
med tiden för att bli noll när bilden kommer fram och därefter bli imaginär. Det kan
ses som ett avstånd till en bild som närmar sig, når fram och därefter försvinner. Jag
kallar detta avståndsbegrepp för Minkowskiavstånd.

En storhet som är en koordinatoberoende storhet dividerad med en koordinatförändring,
till exempel en lufttrycksgradient, transformeras kovariant. En storhet som är en
koordinatförändring dividerad med en koordinatoberoende storhet transformeras
kontravariant. Om man använder ett tredimansionellt koordinatsystem med tid som
skalär förändringsparameter blir tid en koordinatoberoende storhet och hastighet
transformeras då kontravariant. Lägger man in tid som en fjärde koordinataxel blir
även tid en koordinat och hastighet en storhet som är en koordinatändring dividerad
med en koordinatändring vilket innebär att hastighet transformeras invariant.

Men vad är tid? Är det en koordinatoberoende förändringsparameter eller är det en
koordinat? Svaret är att det är både och. Tid är ett sammanfattningsbegrepp för två
olika storheter, parametertid och koordinattid. Ibland använder vi tid som skalär
förändringsparameter, och ibland använder vi tid som en koordinat, koordinattid. Om
man skiljer mellan begreppen kan man använda ett fyrdimensionellt kartesianskt
koordinatsystem med axlarna x, y, z och t där t är koordinattid och använda
parametertiden τ som koordinatoberoende förändringsparameter.

dx/dτ är en kontravariant hastighet i x-riktningen. dx/dt är en invariant
hastighet i x-riktningen. Ett stoppur som jag håller i handen visar mig parametertid.
Det kan därför vara lämpligt att definiera hastighet i x-riktningen som dx/dτ.

Genom att man skiljer mellan parametertid (τ) och koordinattid (t) blir det
meningsfyllt att tala om dt/dτ som en hastighet i koordinattidsled. Man kan då
se en eter som strömmar med ljushastighet i koordinattidsled.

När tåget rör sig i förhållande till perrongen får perrongen ett fyrdimensinellt
kartesiansk koordinatsystem där etervinden blåser med ljushastighet i koordinattidsriktningen
och perrongen svävar i etern. Att tåget rör sig i förhållande till perrongen innebär att
tåget svävar i en etervind som inte har samma riktning som vid perrongen. Tågets
koordinattidsaxel lutar vinkeln α mot perrongens koordinattidsaxel. Tågets
koordinatsystem är alltså vridet vinkeln α där v = c sin α är tågets hastighet
i förhållande till perrongen.

Det vi brukar kalla hastighet (v) blir inte en ändring av eterns vindhastighet utan en ändring
av eterns vindriktning. Sinus för vridningsvinkeln blir ett mått på v och cosinus för
vridningsvinkeln blir Lorentzkontraktionen.

Genom att skilja mellan begreppen parametertid och koordinattid får man nya möjligheter att se
på världen. Det öppnar, som Britt Hallqvist säger i en psalm, "nya världar mycket större än den
här". Men den som inte vill se behöver inte göra det. Den här världen har räckt för många
generationer. Men många har nog en medfödd okuvlig nyfikenhet.