Leif Andersson  Henriksbergsvägen 104   136 67 Vendelsö   2013-06-24
 Planckfrequency - My worlds carrier? 

Planckfrekvensen - Min världs bärvåg?
============================

För att beskriva min omvärld behöver jag enheter som jag kan använda för mätning. 

När man i samband med franska revolutionen bytte måttsystem och införde metersystemet 
funderade man mycket kring frågan hur många grundenheter man behövde för att kunna härleda 
alla de enheter som man använde i praktiken. Man skapade (1832) cgs-systemet med centimeter, 
gram  och sekund som grundenheter.

För att få en enhet för yta använde man en kvadrat med sidan en centimeter. För att få en enhet 
för volym använde man en kub med sidan en centimeter. För att få en enhet för kraft använde man 
sambandet F = m a (kraft lika med massa gånger acceleration) vilket gav kraftenheten dyn som 
var gramcentimeter/sekundkvadrat. 

cgs-systemet hade två brister. Det gav enheter som var opraktiskt små för dagligt bruk och när 
det gällde elektriska storheter fick man två olika system beroende på om man utgick från 
elektrostatisk (ese-enheter) eller magnetisk (eme-enheter) kraftverkan. 

1939 började man ersätta cgs-systemet med MKSA-systemet som hade  meter, 
kilogram, sekund och ampere som grundehnheter. När jag gick i skolan använde äldre 
läroböcker cgs-systemet medan nyare använde MKSA-systemet. 1960 ersattes MKSA-systemet 
med SI-systemet som i stort sett var MKSA-systemet utökat med grundenheten kelvin för 
temperatur. SI-systemet antogs som internationell standard för måttenheter.

Men är det verkligen nödvändigt att ha meter, kilogram, sekund och ampere som grundenheter? 
Kan inte någon av dessa uttryckas i de andra på liknande sätt som ytenheten kan härledas från 
längdenheten? Finns det någon naturlag som knyter samman några av grundenheterna? 

Ljushastigheten i kraftfältfritt vakum har visat sig vara en naturkonstant c. En hastighet knyter 
längd till tid. Det innebär att vi kan ta bort metern och ange längd i (ljus)sekund. Det blir en 
opraktiskt stor längdenhet men idag använder vi allt oftare så korta tider som nanosekunder 
och en (ljus)nanosekund är ungefär lika lång som vårt gamla längdmått fot som visat sig vara 
en praktisk enhet i många sammanhang. 

Kombinerar jag 
   E = m c2        (E = energi  m = massa)
med uttrycket för fotonenergi 
   E = h f         (h = Plancks konstant   f = frekvns) 
får jag 
   m c2 = h f. 

Med c = 1 blir detta 
   m = h f

Sätter jag h = 1 ger detta 
   m = f = 1/T    (T = periodtid)

Massa kan då anges som inverterad sekund. Det innebär att alla tre grundenheterna i cgs-
systemet kan anges i den enda grundenheten sekund. 

Men det räcker inte med detta. Det  finns fler naturkonstanter som man kan använda för att skapa 
ett måttsystem. 1899 visade Max Planck att om man använder de fem naturkonstanterna  c 
(ljushastighet i kraftfältfritt vakum), h (Plancks konstant), G  (gravitationskonstanten), ε0
(dielektricitetskonstanten för vakum) och kB (Boltzmanns konstant) kan man skapa ett måttsystem 
utan någon godtycklig grundenhet. 

Vi har
     l = c t 
     F = m a och F = G m m/l2  som ger m l/t2 = G m m/l2 som ger m = l3/(G t2) 
     E =F l   och E = h f = h/t ger   m l2/t2 = h/t 

I dessa tre ekvationer är c, G och h konstanter. Om man tilldelar dessa något värde, till exempel 
c =1, G =1 och h =1  får man tre ekvationer med tre obekanta (l, t och m). Uttryckt i SI-enheter ger 
det Planckenheterna för 

     tid   5,4 10-44  sekunder   =  5,4 10-35  nanosekunder
     längd  1,8 10-35 meter      =  5,4 10-35 fot
     massa 2,2 10-8 kg 

Planckenhet för laddning får man genom att i Coulombs lag sätta 4π ε0 = 1 och Planckenhet för 
temperatur får man genom att sätta Boltzmanns konstant kB = 1.

Massa, längd och tid är alltså inte av varandra oberoende fenomen. De är koplade till varandra 
vilket tyder på att de är olika uttryck för något gemensamt. 

När jag ser på min värld ser jag en ändlig värld som jag kan dela upp i ett antal odelbara kvanta. 
Om ett kvanta byter plats med en intilliggande tom kvantaposition inträffar en enhetshändelse. Då 
inkrementeras parametertiden och kvantat flyttas ett steg i det fyrdimensionella rummet. Om 
förflyttningen sker i samma riktning som de kvanta som utgör "Jag" säger jag att kvantat flyttade 
sig ett steg i min koordinattidsriktning. En enhetshändelse är alltså både en parametertidsenhet 
och en längdenhet. 

I min värld är 

   parametertid (τ) = antalet enhetshändelser i hela universum

   energi (E) = antalet enhetshändelser i en grupp förutsägbara enhetshändelser 

   massa (m) = antalet kvanta i en kvantagrupp 

   Plancks konstant (h] = totala antalet kvanta i universum

   periodtid (T) för en grupp = parametertiden, alltså antalet enhetshändelser i universum, mellan  
   två händelser som påverkar gruppen.

För ett kvanta gäller att det flyttas var h:te gång en enhetshändelse inträffar. Periodtiden för ett 
kvanta är alltså h.

   T = h 

För två kvanta blir tiden mellan att något av dem förflyttas, alltså periodtiden för gruppen 

   T = h/2

För en grupp om m kvanta blir periodtiden 

   T = h/m     m = h/T   och med f = 1 /T    m = h f 

Om totala antalet kvanta i min värld är n sätter jag alltså h = n. Men ett problem är att jag inte vet 
hur många kvanta det finns i min värld. Jag har alltså inget värde på n och får inte heller något 
värde på h. En möjlighet är då att sätta h =1 och säga att ett kvanta är en n:tedel av h. Eftersom 
jag inte har något värde på n betyder det att jag inte får något värde på storleken av ett kvanta. 
Och det innebär att jag förlorar möjligheten att beskriva min värld med heltal och uteslutande 
använda heltalsmatematik. 

En ändlig värld kan uppdelas i kvanta vilket innebär att den blir "grynig". När vi formulerar våra 
naturlagar i ekvationer använder vi samband som gäller för stora mängder kvanta. När vi kommer 
till mindre kvantamängder måste vi ta hänsyn till världens grynighet och använda diskret 
matematik Det innebär att vi kan se en del symmetrier och resonanser som beror på 
uppdelningen i kvanta. Att Planckenheterna får distinkta värden i SI-enheter tyder på att de 
motsvarar någon sådan symmetri eller resonans. Men det är uppenbart att Planckenheten för 
massa inte är ett odelbart kvanta. I många sammanhang hanterar vi massor som är betydligt mindre än 
2,2 10-8 kg. Och 2 GJ är definitivt inte ett odelbart energikvanta. 

Planck-enheterna bygger på att man sätter vissa universella konstanter lika med ett. Men det 
är inte helt självklart vad som skall sättas till ett. h är en universell konstant men det är även 
h/2π och  ε0 är en universell konstant men det är även  4π ε0. Och det finns andra universella 
konstanter som man kan utgå från. En sådan är Hubble-konstanten.

Ett sätt att uppskatta storleken på ett kvanta kan vara att utgå från Hubblekonstanten som är 
1,24 10-61/ 5,4 10-44 =  2,3 10-18 Hz. Sätter man in det i E = h f får man 

     E =  6,6 10-34  2,3 10-18 =  1,5 10-51  J = 7,5 10-61 Planckenergienheter

Hubble-konstanten ger alltså ett kvanta som är tillräckligt litet för att vara odelbart. Men ett så litet 
kvanta blir oskarpt i tid och  rum. Det är så litet att man måste observera det under hela 
universums livslängd för att kunna detektera det och man måste använda en "antenn" som 
täcker hela universum för att få med hela kvantat så att det går att detektera. Om man vill ordna 
kvanta som bitar i ett binärt världstal måste man använda större kvanta som kan ges mer 
distinkta lägen i tid och rum. 

Om världen var helt linjär skulle alla partikelstorlekar vara lika sannolika. Att det bara finns ett 
fåtal olika storlekar på elementarpartiklar tyder på att världen är "grynig", alltså att den kan delas 
upp i kvanta. 

Förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter är π som är ett irrationellt tal. Men på en 
bildskärm är en cirkels omkrets ett antal pixels och diametern är ett antal pixels. Förhållandet 
mellan omkrets och diameter är alltså förhållandet mellan två heltal, det vill säga ett rationellt 
tal. Skillnaden mellan detta förhållande och π är ett mått på hur grynig bilden är, alltså hur 
stor en pixel är.

Jag kan beskriva min värld och det som händer i den som en funktion av parametertiden F(τ). 
Då kan jag också beskriva den som en annan funktion av 1/τ det vill säga G(1/τ). Om jag 
då sätter frekvensen f =  1/τ kan jag alltså beskriva min värld med funktionen G(f). Mellan 
F(τ) och G(f) finns ett entydigt samband. Känner jag den ena funktionen känner jag även den 
andra.

Om jag i F(τ) delar upp min värld i likstora odelbara kvanta kommer varje kvanta att ha 
samma periodtid som övriga kvanta och därmed samma frekvens. När jag ser på G(f) ser jag 
en funktion som ligger kring en grundton, alltså en funktion kring en bärvåg. 

När jag på en radio vrider på avstämningsratten är den tyst tills radions resonansfrekvens 
överensstämmer med någon modulerad bärvåg. Genom att vrida ratten kan jag ta in olika 
stationer som, utan att påverka varandra, sänder bärvåg som ligger vid olika frekvenser. Är 
min värld på samma sätt en av många kanaler kring en viss bärvåg? Vilken bärvågsfrekvens 
har min värld? Är Planckfrekvensen, alltså 1/(5 10-44) = 2 1043 Hz min världs bärvågsfrekvens? 
Finns det andra "stationer" som "sänder" på andra frekvenser? 

Om jag ser på min värld på detta sätt blir den uppdelad i ganska stora kvanta som bildar en 
bärvåg. Modulering av denna bärvåg ger då möjlighet att åstadkomma mindre kvanta på samma 
sätt som en högfrekvent bärvåg kan moduleras med lågfrekventa ljudsignaler. 

Planckenheten för energi är, som sagt, för stor för att vara ett minsta odelbart kvanta. Men den 
kan vara ett bärvågskvanta, ett kvanta i en bärvåg som modulerats så att en grupp av 
bärvågskvanta bär en lågfrekvent signal. 

När jag ser på min värld ser jag en bild som förmedlas via ljus. Ljuset är en bärvåg som överför 
bilden. Ljusets fotoner är bärvågskvanta som tillsammans överför bilden. I min vardag är fotonernas 
frekvens och därmed deras energi så stor att deras våglängd är försumbar jämfört med de längder 
som jag observerar. Jag kan i en kamera avbilda en meter som en millimeter på kamerans sensor. 
Men om jag försöker avbilda en millimeter som en mikrometer börjar jag få problem. En 
mikrometer är ungefär lika med bärvågens våglängd. När man försöker tillverka integrerade 
kretsar genom att lägga förminskade bilder på kiselskivor får man problem när man försöker 
driva miniatyriseringen så långt att linjebredder understiger en micrometer. För att komma längre 
övergår man från ljus till ännu kortvågigare elektronstrålar.

Om jag på liknande sätt kan se Planckenergin som bärvågskvanta borde jag märka att jag får 
problem med att mäta kortare sträckor än Plancklängden eller kortare tider än Plancktiden. Så 
är det kanske men ännu är våra mätmetoder så ofullkomliga att jag får mätproblem långt innan 
jag kommer i närheten av detta. 

Att jag kan se min värld beror på att mina ögon är avstämda för att ta emot bärvågskvanta som 
ligger mellan infrarött och ultraviolett. En insekt med ögon avstämda för att ta emot ultravioletta 
fotoner eller en värmekamera som tar emot infrarött ljus ser andra bilder av världen. Min 
mobiltelefon är avstämd för att ta emot en annan storlek på bärvågskvanta och ser där en helt 
annan värld. För tvåhundra år sedan hade vi ingen aning om att den bild våra ögon gav oss 
kunde ses som en ström av fotoner och att det kunde finnas andra fotonstorlekar som gav andra 
bilder. Finns det andra värden på c, h och G som ger andra värden på Planckenheter och därmed 
andra universa?