Leif Andersson Henriksbergsvägen 104 136 67 Vendelsö 2014-12-29 Koordinatsystem ============ Om ett flygplan avfyrar en framåtriktad kanon blir kulans hastighet i förhållande till luften summan av flygplanets hastighet i förhållande till luften och kulans utgångshastighet. För knallen gäller däremot att den utbreder sig med en ljudhastighet som är oberoende av flygplanets hastighet. Hur är det med ljus? Rör sig ljuset som en kula eller som ljud? Ljushastigheten är så hög att den är svår att mäta. Det var inte förrän 1675 som Ole Römer lyckades mäta ljushastigheten med hjälp av Jupiters månar. Men ganska snart kunde man konstatera att ljushastigheten var oberoende av ljuskällans hastighet. Ljus utbredde sig alltså i etern på liknande sätt som ljud utbredde sig i luft. Men en viktig skillnad mellan ljus och ljud är att för en ljudkälla kan vi med hjälp av ljus se var ljudkällan befinner sig men för ljus finns inget snabbare sätt att få veta något om ljuskällan. Många av de stjärnor vi ser har för länge sedan flyttat sig eller slocknat utan att vi på något sätt kan få veta det. Om ljuset utbredde sig i etern på ett sätt som var oberoende av ljuskällans hastighet borde man kunna mäta ljuskällans hastighet i förhållande till etern. Om man vill mäta en järnvägsvagns hastighet i förhållande till omgivande luft kan man sätta en ljudreflektor i framänden och skicka en ljudpuls (t ex en gevärsknall) från bakänden. När ljudet går framåt avläsnar sig reflektorn så att gångtiden förlängs och när ljudet går tillbaka närmar sig detektorn så att gångtiden förkortas. Men den kortare gångtiden kompenserar inte helt den förlängda gångtiden. Det inser man lätt om man tänker sig att vagnen går med ljudhastighet. Då blir gångtiden i framriktningen oändlig vilket inte kan kompenseras med att gångtiden för återgången halveras. Den sammanlagda gångtiden för ljudet blir alltså ett mått på vagnens hastighet i förhållande till omgivande luft. Om jag flyttar in reflektorn,geväret och detektorn i kupen kommer jag inte att mäta vagnens hastighet i förhållande till omgivande luft utan vagnens hastighet i förhållande till kupeluften vilken naturligtvis blir noll. 1887 mätte Albert Michelsson och Edward Morley hastigheten i förhållande till etern. Resultatet blev noll. Det betyder att mätanordningen inte rörde sig i förhållande till etern i mätanordningen. Etern följde alltså med mätanordningen på samma sätt som luften i vagnskupen följer med vagnen. Ingenting konstigt med det. Men det betydde att etern kring ett föremål följde med föremålet, så kallad dragging. 1851 mätte Hippolyte Fitzau dragging i strömmande vatten, Han fann en dragging men den var mindre än väntat och beroende av vattnets brytningsindex. Nägot var konstigt med det gängse synsättet. Världen har ingen metrik.För att vi skall kunna tala om begrepp som avstånd och hastighet måste vi projicera verkligheten på något koordinatsystem. Vi kan välja vilket koordinatsystem som helst och vilka projektionsregler som helst. Den ena projektionen är inte mer rätt än den andra. Om vi projicerar så att varje punkt i verkligheten får en unik bildpunkt (bijektiv projektion) innehåller bilden all information som behövs för att återskapa verkligheten. Ibland projicerar vi på sätt som ger förenklade bilder. När vi gör en karta eller tar ett fotografi projicerar vi på en tvådimensionell bild vilket innebär att varje bildpunkt får motsvara många punkter i verkligheten. En sådan bild innehåller alltså inte all information som behövs för att återskapa verkligheten. Ofta kan det vara lämpligt att använda rätlinjiga, ortogonala koordinatsystem. Sådana system kallas kartesianska efter Cartesius som drottning Kristina lurade till Stockholm där han frös ihjäl. Om man projicerar verkligheten på två olika bilder kan man komplettera projektionsreglerna med regler för att projicera den ena bilden på den andra. Om någon av bilderna är ofullständig är det inte säkert att det går att transformera mellan dem. Det går inte att transformera ett svart-vitt foto till ett färgfoto. Det finns en gammal historia om byborna som skall ro kyrkklockan över sjön. Mitt ute på sjön tappar de klockan men för att veta var de tappade den gör de ett märke i båtkanten. De använder två avbildningar på verkligheten. En på sjöfast koordinatsystem och en på båtfast koordinatsystem. För att ett märke i båtfast koordinatsystem skall vara användbart i sjöfast koordinatsystem måste de ha regler för att avbilda det båtfasta koordinatsystemet på det sjöfasta. När jag sitter på ett tåg och ser en perrong passera utanför fönstret placerar jag in perrongen i mitt tågfasta koordinatsystem och en person på perrongen placerar in tåget i sitt perrongfasta koordinatsystem. Hur kan vi projicera våra bilder på varandra? Hur ser en transformationsmatris ut mellan dem? Gallilei angav en transformation mellan två system som rör sig med konstant hastighet i förållande till varandra. Två kartesianska system. x-axeln i tågets färdriktning. Stora bokstäver tågfast små bokstäver perrongfast. v = tågets hastighetni förhållande till perrongen X = x - vt Y =y Z = z T = t Detta överför bild mellan två system där axlarna är parallella med motsvarande axel i det andra systemet och origo rör sig med hastigheten v längs x-axeln. Men denna transformation stämmer inte med Fizaus resultat. Woldemar Voigt (1887) och Hendrik Lorentz (1904) visade att om man övergav kravet att transformen skulle vara ortogonal kunde man transformera så att det stämde med Fizaus resultat med transformen c = ljushastigheten X = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2 Y = y Z = z T = (t - vx/c2)/(1 - v2/c2)1/2 Denna transform brukar kallas Lorentztransformen och (1 - v2/c2)1/2 kallas Lorentzkontraktionen. Det innebär att man använder ett koordnatsystem med de fyra axlarna x, y, z och t. När man transformerar till ett system som rör sig med hastigheten v vrider man t-axeln så att den inte längre blir ortogonal mot de övriga axlarna. Det innebär att längd och tid inte längre blir oberoende av varandra. Albert Einstein påpekade 1905 att den ändliga ljushastigheten innebar att om man i ett system tittade på klockor och meterstavar såg man dem med en fördröjning som motsvarade ljusets gångtid mellan systemen. Eftersom ljushastighet är den högsta hastighet vi funnit finns det ingen möjlighet att se dem utan denna fördröjning. Om en avlägsen händelse inträffar kan jag inte veta något alls om den förrän den bild som ljuset förmedlar når fram till mig. I min värld inträffar alltså händelsen när dess bild kommer fram till mig. För mig är alltså avståndet till händelsens bild viktigare än avståndet till händelsen. Hermann Minkowski påpekade att om man använder en imaginär tidsaxel ersätts det vanliga avståndsuttrycket med en storhet som minskar med tiden för att bli noll när bilden kommer fram och därefter bli imaginär. Det kan ses som ett avstånd till en bild som närmar sig, når fram och därefter försvinner. Jag kallar detta avståndsbegrepp för Minkowskiavstånd. En storhet som är en koordinatoberoende storhet dividerad med en koordinatförändring, till exempel en lufttrycksgradient, transformeras kovariant. En storhet som är en koordinatförändring dividerad med en koordinatoberoende storhet transformeras kontravariant. Om man använder ett tredimansionellt koordinatsystem med tid som skalär förändringsparameter blir tid en koordinatoberoende storhet och hastighet transformeras då kontravariant. Lägger man in tid som en fjärde koordinataxel blir även tid en koordinat och hastighet en storhet som är en koordinatändring dividerad med en koordinatändring vilket innebär att hastighet transformeras invariant. Men vad är tid? Är det en koordinatoberoende förändringsparameter eller är det en koordinat? Svaret är att det är både och. Tid är ett sammanfattningsbegrepp för två olika storheter, parametertid och koordinattid. Ibland använder vi tid som skalär förändringsparameter, och ibland använder vi tid som en koordinat, koordinattid. Om man skiljer mellan begreppen kan man använda ett fyrdimensionellt kartesianskt koordinatsystem med axlarna x, y, z och t där t är koordinattid och använda parametertiden τ som koordinatoberoende förändringsparameter. dx/dτ är en kontravariant hastighet i x-riktningen. dx/dt är en invariant hastighet i x-riktningen. Ett stoppur som jag håller i handen visar mig parametertid. Det kan därför vara lämpligt att definiera hastighet i x-riktningen som dx/dτ. Genom att man skiljer mellan parametertid (τ) och koordinattid (t) blir det meningsfyllt att tala om dt/dτ som en hastighet i koordinattidsled. Man kan då se en eter som strömmar med ljushastighet i koordinattidsled. När tåget rör sig i förhållande till perrongen får perrongen ett fyrdimensinellt kartesiansk koordinatsystem där etervinden blåser med ljushastighet i koordinattidsriktningen och perrongen svävar i etern. Att tåget rör sig i förhållande till perrongen innebär att tåget svävar i en etervind som inte har samma riktning som vid perrongen. Tågets koordinattidsaxel lutar vinkeln α mot perrongens koordinattidsaxel. Tågets koordinatsystem är alltså vridet vinkeln α där v = c sin α är tågets hastighet i förhållande till perrongen. Det vi brukar kalla hastighet (v) blir inte en ändring av eterns vindhastighet utan en ändring av eterns vindriktning. Sinus för vridningsvinkeln blir ett mått på v och cosinus för vridningsvinkeln blir Lorentzkontraktionen. Genom att skilja mellan begreppen parametertid och koordinattid får man nya möjligheter att se på världen. Det öppnar, som Britt Hallqvist säger i en psalm, "nya världar mycket större än den här". Men den som inte vill se behöver inte göra det. Den här världen har räckt för många generationer. Men många har nog en medfödd okuvlig nyfikenhet.