Leif Andersson Henriksbergsvägen 104 136 67 Vendelsö 2012-02-28 Om projektioner =============== Livet på Jorden har utvecklats efter två linjer. En är växter som omvandlar ljus, koldioxid och vatten till brännbart material, den andra är djur som söker upp och använder brännbart material som bränsle. För att kunna söka upp bränsle måste ett djur ha rörelseförmåga, någon typ av känsel och ett program för siktesberäkning. En ko kan med hjälp av lukt och syn lokalisera ett närbeläget stånd av smaskig klöver, med siktesberälningen avgöra hur hon skall komma dit och med rörelseförmågan verkställa förflyttningen. Vår siktesberäkning bygger på att vi har en bild av världen där vi kan göra erforderliga beräkningar. I många fall behöver vi göra avbildningar för att komma till bilder som vi kan hantera. 1872 presenterade Felix Klein det så kallade Erlangenprogrammet som beskrev fyra klasser av avbildningar uppdelade efter vad som var invariant i en klass. Om vår siktesberäkning inte klarar att leda oss fram till födan kan vi försöka projicera den bild våra sinnesorgan ger med hjälp av någon avbiödning i någon klass som ger en hanterlig bild. Ofta blir beräkningar ganska enkla i en endimensionell rymd alltså i en bild som består av en tallinje. I en tvådimensionell bild kan vi lägga in två vinkelräta tallinjer och projicera på dessa för att få tal som vi kan räkna med. En tredimensionell figur kan vi projicera till en tvådimensionell bild som ibland är enklare att hantera. En projektion kan göras på många olika sätt. Jag kan till exempel avbilda en bit av jordytan på en karta. En sådan avbildning är ekviform vilket innebär att förhållandet mellan ett avstånd på kartan och ett avstånd på jordytan alltid är det samma. Om jag gör kartan i skala 1:1000 motsvarar 1 m på kartan 1 km på jordytan. Väljer jag skala 1:1 blir avstånd på kartan lika med avstånd på jordytan. Hur jag än vrider och flyttar kartan gäller att avstånd mellan motsvarande punkter blir lika på kartan och på jordytan. Avstånd blir alltså invariant hur jag än vrider kartans koordinat- system. På en karta kan jag se olika vägar mot ett mål och jag kan beräkna längden av varje väg. Jag kan också, till exempel med en kamera, göra en centralprojektion av jordytan. Flera av den ekviforma avbildningens invarianter är inte invarianta vid en centralprojektion. Parallella linjer avbildas inte som parallella och förhållandet mellan avstånd är inte invariant. Trots det ser vi en centralprojektion som en bra bild. En orsak till detta är att våra ögon ger oss en centralprojektion som vi vant oss vid att använda. 1905 föreslog Einstein att man skulle använda kvadraten på rumsavståndet minus kvadraten på tidsavståndet som invariant. Så länge rumsavståndet är större än tidsavståndet minskar denna invariant med tiden. Varför är det motiverat att använda en sådan invariant? Om jag ser en stjärna explodera kan det vara så att explosionen inträffade för miljontals år sedan men för mig inträffar den här och nu. Eftersom det inte finns något sätt att få veta något om explosionen innan den bild som ljuset överför kommer fram borde man kunna ersätta händelsen med händelsens bild. Minkowski påpekade att om man använder en imaginär tidsaxel får man en bild där tiden blir negativ om man kvadrerar den. Så kan man naturligtvis göra. Frågan är hur vi tolkar ett sådant sätt att projicera. Jag gjorde lumpen som radaringenjör. Vi satt på radarstationen på Frösön och såg på PPI-skärmen ljuspunkter som markerade att Minkowskiavståndet till ett radareko blivit noll. Med hjälp av dessa ljuspunkter kunde vi beräkna avstånd till det flygplan som radarpulsen studsat mot och vi kunde beräkna den tidpunkt när avståndet till flygplanet skulle bli noll och banan måste vara klar för att ta emot ett landande flygplan. Minkowskiavståndet, det vill säga roten ur den av Einstein och Minkowski föreslagna invarianten, är alltså i vissa fall användbart men man måste ha klart för sig att det är avtåndet till den bild av flygplanet som radarpulsen visar, inte avståndet till flygplanet. En orsak till att vi behöver göra dimensionsreducerande projektioner är att vår rörelseförmåga är tredimensionell men för att kunna avgöra om två punkter ligger nära varandra måste vi ange dem med fyra koordinater. Vår siktesberäkning står alltså inför problemet: "Hur kan jag i tre dimensioner nå ett mål som är angivet i fyra dimensioner?". Vilken tredimensionell projektion av min fyrdimensionella omvärld ger mig möjlighet att se hur jag kan nå mina mål? Vilka invarianter skall en sådan projektion ha? Så här kan jag också se det: Min värld är fyrdimensionell. En punkts läge anges alltså med fyra koordinater. För alla kvanta i min värld finns en medelpunkt som jag kan använda som origo. Jag kan då ange mitt läge i förhållande till origo med hjälp av fyra koordinater. En händelse innebär att min värld förändras. Det innebär att mitt läge i förhållande till origo ändras, alltså att någon eller några av mina lägeskoordinater ändras. Jag kan lägga mitt koordinatsystem så att det nästan alltid blir samma koordinat som ändras. Jag kan alltså lägga en koordinataxel i min färdriktning. Antalet händelser kallar jag parametertid och min färdriktning kallar jag för koordinattid. Min rörelseförmåga innebär att jag kan påverka koordinattidsriktningen. Jag färdas alltså genom min värld på liknande sätt som när jag färdas med bil genom ett landskap och jag kan påverka färdriktningen på liknande sätt som jag med ratten påverkar bilens färdriktning. Jag har alltså tillgång till min världs ratt men inte till världens gaspedal. I denna värld är den enda skillnaden mellan rumskoordinater och koordinattid att jag färdas med ljushastighet i koordinattidsriktningen. Koordinattiden är reell och summan av kvadraten på rumsavstånd och kvadraten på koordinattidsavstånd är invariant vid koordinattransformationer.