Leif Andersson  Henriksbergsvägen 104   136 67 Vendelsö   2012-02-28

Om projektioner
===============

Livet på Jorden har utvecklats efter två linjer. En är växter som omvandlar ljus, koldioxid och vatten 
till brännbart material, den andra är djur som söker upp och använder brännbart material som 
bränsle.

För att kunna söka upp bränsle måste ett djur ha rörelseförmåga, någon typ av känsel och ett 
program för siktesberäkning. En ko kan med hjälp av lukt och syn lokalisera ett närbeläget stånd 
av smaskig klöver, med siktesberälningen avgöra hur hon skall komma dit och med rörelseförmågan 
verkställa förflyttningen.

Vår siktesberäkning bygger på att vi har en bild av världen där vi kan göra erforderliga beräkningar. 
I många fall behöver vi göra avbildningar för att komma till bilder som vi kan hantera.

1872 presenterade Felix Klein det så kallade Erlangenprogrammet som beskrev fyra klasser av 
avbildningar uppdelade efter vad som var invariant i en klass. Om vår siktesberäkning inte klarar 
att leda oss fram till födan kan vi försöka projicera den bild våra sinnesorgan ger med hjälp av 
någon avbiödning i någon klass som ger en hanterlig bild.

Ofta blir beräkningar ganska enkla i en endimensionell rymd alltså i en bild som består av en 
tallinje. I en tvådimensionell bild kan vi lägga in två vinkelräta tallinjer och projicera på dessa 
för att få tal som vi kan räkna med. En tredimensionell figur kan vi projicera till en tvådimensionell 
bild som ibland är enklare att hantera.

En projektion kan göras på många olika sätt. Jag kan till exempel avbilda en bit av jordytan på en 
karta. En sådan avbildning är ekviform vilket innebär att förhållandet mellan ett avstånd på kartan 
och ett avstånd på jordytan alltid är det samma. Om jag gör kartan i skala 1:1000 motsvarar 1 m 
på kartan 1 km på jordytan. Väljer jag skala 1:1 blir avstånd på kartan lika med avstånd på 
jordytan. Hur jag än vrider och flyttar kartan gäller att avstånd mellan motsvarande punkter blir 
lika på kartan och på jordytan. Avstånd blir alltså invariant hur jag än vrider kartans koordinat-
system.

På en karta kan jag se olika vägar mot ett mål och jag kan beräkna längden av varje väg.

Jag kan också, till exempel med en kamera, göra en centralprojektion av jordytan. Flera av den 
ekviforma avbildningens invarianter är inte invarianta vid en centralprojektion. Parallella linjer 
avbildas inte som parallella och förhållandet mellan avstånd är inte invariant. Trots det ser vi 
en centralprojektion som en bra bild. En orsak till detta är att våra ögon ger oss en centralprojektion 
som vi vant oss vid att använda. 

1905 föreslog Einstein att man skulle använda kvadraten på rumsavståndet minus kvadraten på 
tidsavståndet som invariant. Så länge rumsavståndet är större än tidsavståndet minskar denna 
invariant med tiden. Varför är det motiverat att använda en sådan invariant? 

Om jag ser en stjärna explodera kan det vara så att explosionen inträffade  för miljontals år sedan 
men för mig inträffar den här och nu. Eftersom det inte finns något sätt att få veta något om 
explosionen innan den bild som ljuset överför kommer fram borde man kunna ersätta händelsen 
med händelsens bild. Minkowski påpekade att om man använder en imaginär tidsaxel får man 
en bild där tiden blir negativ om man kvadrerar den.

Så kan man naturligtvis göra. Frågan är hur vi tolkar ett sådant sätt att projicera.

Jag gjorde lumpen som radaringenjör. Vi satt på radarstationen på Frösön och såg på PPI-skärmen 
ljuspunkter som markerade att Minkowskiavståndet till ett radareko blivit noll. Med hjälp av dessa 
ljuspunkter kunde vi beräkna avstånd till det flygplan som radarpulsen studsat mot och vi kunde 
beräkna den tidpunkt när avståndet till flygplanet skulle bli noll och banan måste vara klar för att 
ta emot ett landande flygplan.

Minkowskiavståndet, det vill säga roten ur den av Einstein och Minkowski föreslagna invarianten, 
är alltså i vissa fall användbart men man måste ha klart för sig att det är avtåndet till den bild 
av flygplanet som radarpulsen visar, inte avståndet till flygplanet. 

En orsak till att vi behöver göra dimensionsreducerande projektioner är att vår rörelseförmåga 
är tredimensionell men för att kunna avgöra om två punkter ligger nära varandra måste vi ange 
dem med fyra koordinater. Vår siktesberäkning står alltså inför problemet: "Hur kan jag i tre 
dimensioner nå ett mål som är angivet i fyra dimensioner?". Vilken tredimensionell projektion av 
min fyrdimensionella omvärld ger mig möjlighet att se hur jag kan nå mina mål? Vilka invarianter 
skall en sådan projektion ha? 

Så här kan jag också se det:

Min värld är fyrdimensionell. En punkts läge anges alltså med fyra koordinater. För alla kvanta i min 
värld finns en medelpunkt som jag kan använda som origo. Jag kan då ange mitt läge i förhållande 
till origo med hjälp av fyra koordinater. 

En händelse innebär att min värld förändras. Det innebär att mitt läge i förhållande till origo ändras, 
alltså att någon eller några av mina lägeskoordinater ändras. Jag kan lägga mitt koordinatsystem 
så att det nästan alltid blir samma koordinat som ändras. Jag kan alltså lägga en koordinataxel i 
min färdriktning. Antalet händelser kallar jag parametertid och min färdriktning kallar jag för 
koordinattid.

Min rörelseförmåga innebär att jag kan påverka koordinattidsriktningen. Jag färdas alltså genom 
min värld på liknande sätt som när jag färdas med bil genom ett landskap och jag kan påverka 
färdriktningen på liknande sätt som jag med ratten påverkar bilens färdriktning. Jag har alltså 
tillgång till min världs ratt men inte till världens gaspedal.

I denna värld är den enda skillnaden mellan rumskoordinater och koordinattid att jag färdas med 
ljushastighet i koordinattidsriktningen. Koordinattiden är reell och summan av kvadraten på 
rumsavstånd och kvadraten på koordinattidsavstånd är invariant vid koordinattransformationer.